圖 12-5   構建二叉樹的示例數據

判斷是否為分治問題

原問題定義為從 preorder 和 inorder 構建二叉樹，其是一個典型的分治問題。

• 問題可以被分解：從分治的角度切入，我們可以將原問題劃分為兩個子問題：構建左子樹、構建右子樹，加上一步操作：初始化根節(jié)點。而對于每個子樹（子問題），我們仍然可以復用以上劃分方法，將其劃分為更小的子樹（子問題），直至達到最小子問題（空子樹）時終止。
• 子問題是獨立的：左子樹和右子樹是相互獨立的，它們之間沒有交集。在構建左子樹時，我們只需要關注中序遍歷和前序遍歷中與左子樹對應的部分。右子樹同理。
• 子問題的解可以合并：一旦得到了左子樹和右子樹（子問題的解），我們就可以將它們鏈接到根節(jié)點上，得到原問題的解。

如何劃分子樹

根據以上分析，這道題是可以使用分治來求解的，但如何通過前序遍歷 preorder 和中序遍歷 inorder 來劃分左子樹和右子樹呢？

根據定義，preorder 和 inorder 都可以被劃分為三個部分。

• 前序遍歷：[ 根節(jié)點 | 左子樹 | 右子樹 ] ，例如圖 12-5 的樹對應 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。
• 中序遍歷：[ 左子樹 | 根節(jié)點 ｜ 右子樹 ] ，例如圖 12-5 的樹對應 [ 9 | 3 | 1 2 7 ] 。

以上圖數據為例，我們可以通過圖 12-6 所示的步驟得到劃分結果。

1. 前序遍歷的首元素 3 是根節(jié)點的值。
2. 查找根節(jié)點 3 在 inorder 中的索引，利用該索引可將 inorder 劃分為 [ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ] 。
3. 根據 inorder 劃分結果，易得左子樹和右子樹的節(jié)點數量分別為 1 和 3 ，從而可將 preorder 劃分為 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。

圖 12-6   在前序和中序遍歷中劃分子樹

基于變量描述子樹區(qū)間

根據以上劃分方法，我們已經得到根節(jié)點、左子樹、右子樹在 preorder 和 inorder 中的索引區(qū)間。而為了描述這些索引區(qū)間，我們需要借助幾個指針變量。

• 將當前樹的根節(jié)點在 preorder 中的索引記為 $i$ 。
• 將當前樹的根節(jié)點在 inorder 中的索引記為 $m$ 。
• 將當前樹在 inorder 中的索引區(qū)間記為 $[l,r]$ 。

如表 12-1 所示，通過以上變量即可表示根節(jié)點在 preorder 中的索引，以及子樹在 inorder 中的索引區(qū)間。

表 12-1   根節(jié)點和子樹在前序和中序遍歷中的索引

請注意，右子樹根節(jié)點索引中的 $(m?l)$ 的含義是“左子樹的節(jié)點數量”，建議配合圖 12-7 理解。

圖 12-7   根節(jié)點和左右子樹的索引區(qū)間表示

4.   代碼實現?

為了提升查詢 $m$ 的效率，我們借助一個哈希表 hmap 來存儲數組 inorder 中元素到索引的映射。

build_tree.cpp

/* 構建二叉樹：分治 */
TreeNode *dfs(vector<int> &preorder, unordered_map<int, int> &inorderMap, int i, int l, int r) {
    // 子樹區(qū)間為空時終止
    if (r - l < 0)
        return NULL;
    // 初始化根節(jié)點
    TreeNode *root = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查詢 m ，從而劃分左右子樹
    int m = inorderMap[preorder[i]];
    // 子問題：構建左子樹
    root->left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
    // 子問題：構建右子樹
    root->right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根節(jié)點
    return root;
}

/* 構建二叉樹 */
TreeNode *buildTree(vector<int> &preorder, vector<int> &inorder) {
    // 初始化哈希表，存儲 inorder 元素到索引的映射
    unordered_map<int, int> inorderMap;
    for (int i = 0; i < inorder.size(); i++) {
        inorderMap[inorder[i]] = i;
    }
    TreeNode *root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.size() - 1);
    return root;
}

圖 12-8 展示了構建二叉樹的遞歸過程，各個節(jié)點是在向下“遞”的過程中建立的，而各條邊（即引用）是在向上“歸”的過程中建立的。

圖 12-8   構建二叉樹的遞歸過程

每個遞歸函數內的前序遍歷 preorder 和中序遍歷 inorder 的劃分結果如圖 12-9 所示。

圖 12-9   每個遞歸函數中的劃分結果

設樹的節(jié)點數量為 $n$ ，初始化每一個節(jié)點（執(zhí)行一個遞歸函數 dfs() ）使用 $O(1)$ 時間。因此總體時間復雜度為 $O(n)$ 。

哈希表存儲 inorder 元素到索引的映射，空間復雜度為 $O(n)$ 。最差情況下，即二叉樹退化為鏈表時，遞歸深度達到 $n$ ，使用 $O(n)$ 的棧幀空間。因此總體空間復雜度為 $O(n)$ 。