圖 10-4   二分查找插入點(diǎn)示例數(shù)據(jù)二分查找不僅可用于搜索目標(biāo)元素，還具有許多變種問題，比如搜索目標(biāo)元素的插入位置。

10.2.1   無重復(fù)元素的情況

Question

給定一個長度為 n 的有序數(shù)組 ?nums? 和一個元素 ?target? ，數(shù)組不存在重復(fù)元素?，F(xiàn)將 ?target? 插入到數(shù)組 ?nums? 中，并保持其有序性。若數(shù)組中已存在元素 ?target? ，則插入到其左方。請返回插入后 ?target? 在數(shù)組中的索引。

圖 10-4   二分查找插入點(diǎn)示例數(shù)據(jù)

如果想要復(fù)用上節(jié)的二分查找代碼，則需要回答以下兩個問題。

問題一：當(dāng)數(shù)組中包含 target 時，插入點(diǎn)的索引是否是該元素的索引？

題目要求將 target 插入到相等元素的左邊，這意味著新插入的 target 替換原來 target 的位置。也就是說，當(dāng)數(shù)組包含 target 時，插入點(diǎn)的索引就是該 target 的索引。

問題二：當(dāng)數(shù)組中不存在 target 時，插入點(diǎn)是哪個元素的索引？

進(jìn)一步思考二分查找過程：當(dāng) nums[m] < target 時 i 移動，這意味著指針 i 在向大于等于 target 的元素靠近。同理，指針 j 始終在向小于等于 target 的元素靠近。

因此二分結(jié)束時一定有：i 指向首個大于 target 的元素，j 指向首個小于 target 的元素。易得當(dāng)數(shù)組不包含 target 時，插入索引為 i 。

binary_search_insertion.cpp

/* 二分查找插入點(diǎn)（無重復(fù)元素） */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化雙閉區(qū)間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計(jì)算中點(diǎn)索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區(qū)間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區(qū)間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點(diǎn) m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點(diǎn) i
    return i;
}

存在重復(fù)元素的情況

Question

在上一題的基礎(chǔ)上，規(guī)定數(shù)組可能包含重復(fù)元素，其余不變。

假設(shè)數(shù)組中存在多個 target ，則普通二分查找只能返回其中一個 target 的索引，而無法確定該元素的左邊和右邊還有多少 target。

題目要求將目標(biāo)元素插入到最左邊，所以我們需要查找數(shù)組中最左一個 target 的索引。初步考慮通過圖 10-5 所示的步驟實(shí)現(xiàn)。

1. 執(zhí)行二分查找，得到任意一個 target 的索引，記為 k 。
2. 從索引 k 開始，向左進(jìn)行線性遍歷，當(dāng)找到最左邊的 target 時返回。

圖 10-5   線性查找重復(fù)元素的插入點(diǎn)

此方法雖然可用，但其包含線性查找，因此時間復(fù)雜度為 O(n) 。當(dāng)數(shù)組中存在很多重復(fù)的 target 時，該方法效率很低。

現(xiàn)考慮拓展二分查找代碼。如圖 10-6 所示，整體流程保持不變，每輪先計(jì)算中點(diǎn)索引 m ，再判斷 target 和 nums[m] 大小關(guān)系，分為以下幾種情況。

• 當(dāng) nums[m] < target 或 nums[m] > target 時，說明還沒有找到 target ，因此采用普通二分查找的縮小區(qū)間操作，從而使指針 i 和 j 向 target 靠近。
• 當(dāng) nums[m] == target 時，說明小于 target 的元素在區(qū)間 [i,m?1] 中，因此采用 j=m?1 來縮小區(qū)間，從而使指針 j 向小于 target 的元素靠近。

循環(huán)完成后，i 指向最左邊的 target ，j 指向首個小于 target 的元素，因此索引 i 就是插入點(diǎn)。

圖 10-6   二分查找重復(fù)元素的插入點(diǎn)的步驟

觀察以下代碼，判斷分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同，因此兩者可以合并。

即便如此，我們?nèi)匀豢梢詫⑴袛鄺l件保持展開，因?yàn)槠溥壿嫺忧逦?、可讀性更好。

binary_search_insertion.cpp

/* 二分查找插入點(diǎn)（存在重復(fù)元素） */
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化雙閉區(qū)間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計(jì)算中點(diǎn)索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區(qū)間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區(qū)間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首個小于 target 的元素在區(qū)間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點(diǎn) i
    return i;
}

Tip

本節(jié)的代碼都是“雙閉區(qū)間”寫法。有興趣的讀者可以自行實(shí)現(xiàn)“左閉右開”寫法。

總的來看，二分查找無非就是給指針 i 和 j分別設(shè)定搜索目標(biāo)，目標(biāo)可能是一個具體的元素（例如 target ），也可能是一個元素范圍（例如小于 target 的元素）。

在不斷的循環(huán)二分中，指針 i 和 j 都逐漸逼近預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)。最終，它們或是成功找到答案，或是越過邊界后停止。